Lahirnya Pengkhususan Matematika

• MATEMATIKA ABAD 17 DAN ABAD 18.

            Pengantar

Pada abad ke 17 telah ditemukan alat paling baik untuk menguraikan kalkulus yaitu geometri analitik.Usaha untuk menyusun generalisasi atas konsep-konsep matematika terus berkembang pada cabang matematika lainnya.

Selanjutnya,pada abad 18 ahli-ahli lebih meneliti dan meluas metoda baru dan kokoh untuk kalkulus.Pada abad 19,ahli lebih menfokuskan pada landasan logika yang kokoh pada struktur matematika itu.

Pada abad 20,ahli-ahli berusaha sejauh mungkin menyusun generalisasi dari konsep-konsep matematika.Selanjutnya untuk perkembangan praktis,cabang-cabang matematika dibagi atas 2,yaitu matematika terapan dan matematika murni.Sehingga lahir ahli-ahli khusus yang tertarik pada bagian tertentu saja dari cabang matematika tersebut.

Ahli-Ahli Khusus

1. Keluarga Bernoulli

Pada abad 18 sumbangan yang sangat penting diberikan anggota keluarga benoulli dari swiss .

JACOB BERNOULLI (1654-1705).

Jacob dan saudaranya adalah ahli pertama yang menggunakan kalkulus untuk menyelesaikan berbagai soal matematika.diantara penemuan Jacob adalah pemakaian koordinat polar untuk menentukan jari-jari kelengkungan datar.Ia menyelidiki sifat-sifat kurva cotangent,kurva datar derajat tinggi dan penemuan kurva isochrone.

Didalam teori peluang,kita kenal penemuannya yang disebut distribusi bernoulli.dalam aljabar dikenal bilangan bernoulli dan polinomial bernoulli.penyelidikannya atas kurva isochrone diterbitkan dalam majalah acta eruditorium pada tahun 1690.dalam tulisan itu ia memperkenalkan istilah integral dalam kalkulus.

            Pada tahun 1696,jacob bersama leibniz mengganti istilah kalkulus summatoris menjadi kalkulus integralis.

JOHAN BERNOULLI(1667-1748).

            Ia guru besar terkemuka di Eropa pada masanya.Ia bersama muridnya de I’hospital menyusun buku teks kalkulus yang pertama.Diperkenalkannya bentuk tak tertentu  yang kemudian diperbaiki de I’hospital.ia menemukan trayektori ortogonal dari berbagai kurva,menguraikan sifat-sifat kurva cy cloida.ia menyelidiki suatu kurva dalam medan gravitasi yang dilalui suatu partikel,di tempuh dalam waktu tercepat antara dua titik.kurva benama chystochrone.

            Ia menyelidiki kurva-kurva yang dilalui suatu partikel sehingga tiba di suatu titik dalam waktu yang sama walaupun titik awal dari partikel itu berbeda kurva-kurva itu disebut tautochrone.Persoalan itu di bahas oleh Euler Lagragne dan dipecahkan oleh Huygens untuk menciptakan jam bandul.Ia juga menulis persamaan diferensial.

Johann meninggal karena tenggelam dan ia meninggalkan 3 putra yaitu Nicolaus,Daniel dan johann II.

DANIEL BERNOULLI (1700-1782).

            Pada tahun 1783 iya menulis tentang hidrodinamika.Ia juga menulis tentang teori kinetis dari gas-gas.daniel menjadi pelopor dari hitungan diferensial parsial.

JOAHANN II BERNOULLI (1710-1790).

            Pendidikan utamanya adalah di bidang hukum.Tetapi juga berbakat dalam matematika dan mempelajari tentang panas dan cahaya.

JOHANN III BERNOULLI (1744-1807).

            Ia menulis tentang astronomi,teori peluang persamaan tak tertentu.

2. Abraham de Moivre

Ia lahir di Prancis tetapi sebagian besar hidupnya di Inggris dan menjadi sahabat Newton.Ia menulis buku dengan judul Miscellanea Analitica berisi deret bolak balik,teori peluang dan trigonometri analitik.Dalam teori peluang ia memberi rumus :

                                    = 

Ia juga memberi rumus untuk kurva frekuensi

            y  = c (c dan h adalah konstan).

Sebenarnya rumus String adalah dari de Moivre,untuk  n  cukup besar maka

            n!=   

            rumus terkenal dari de Moivre ialah  =

3. Brook Taylor(1685-1731)

Seorang ahli matematika dari inggris. Pada tahun  1715, menerbitkan teorema untuk ekspansi suatu fungsi menjadi suatu polinom yang di kenal dengan Deret Taylor.

Rumus itu ialah:

Karya Taylor yang lain adalah dalam teori perspektif yang menjadi pemakaian matematika fotogrametri.

4. Colin Maclaurin (1698-1746)

Seoarng ahli matematika berkemampuan tinggi pada abad 18 dari skotlandia. Dalam pelajaran kalkulus permulaan ia dikenal dalam deret pangkat Maclaurin, yaitu ekspansi dari suatu fungsi  seperti yang dilakukan Taylor tetapi untuk x=0

Maka rumusnya ialah:

karya lain tentang pemakaian geometri klasik pada soal-soal fisika.

5. Leonard Euler(1707-1783)

Ia ahli matematika Swiss. Euler seorang penulis berjilid-jilid buku matematika dan bahkan dikatakan penulis paling banyak dari buku matematika sepanjang sjarah matematika. Sangat mengagumkan, bahwa produktivitasnya menulis tidak berkurang walaupun ia telah buta pada tahun 1768.

Diantara karyanya  dalam teorema binomial digunakan secara formal untuk menghitung

Karya lain adalah dua deret 

   dan

 .

Dan  ia mendapatkan

Dari karya – karyanya yang banyak dipakai sekarang penulisan secara konvensional dari notasi-notasi berikut:

1.      Notasi untuk fungsi f(x)

2.      Notasi e sebagai basis logaritma naturalis

3.      Notasi a,b,c untuk sisi segitiga ABC

4.      Notasi ∑ untuk menjumlah

5.      Notasi i untuk

Rumus diatas namakan kepada Euler adalah

 = cos x + I sin x

Untuk x = π maka  + 1 = 0

Secara formal Euler menemukan bilangan-bilangan dengan sifat aneh seperti ini:

Dalam geometri datar dikenal garis euler pada segitiga. Dalam geometri ruang dikenal rumus euler yakni hubungan antara banyaknya bidang sisi(S), titik sudut(t) dan rusuk(r) dari suatu biang banyak konveks. Rumusnya:

S + T = R + 2

Dalam teori persamaan ia berikan metode menentukan akar persamaan pangkat empat. Dalam teori bilangan dijumpai teorema euler. Dalam teori fungsi dikenal fungsi phi, fungsi beta, fungsi gamma dari euler.

Dalam persamaan deferensial ia memberikan factor integral yang dikembangkan dalam pemakaian untuk geometri deferensial.

Euler juga menerbitkan karya tulis mengenai teori tentang bulan, hidrolika, masalah alat-alat angkasa, membuat kapal, artileri dan teori musik. Ia seorang penulis yang mahir menyajikan bahan tulisannya, dengan jelas sekali mendetail dan menyeluruh, dan karyanya subur dengan ide-ide.

6. Claude Alexis Clairaut (1713-1765)

Ia lahir di paris dan tumbuh menjadi seorang remaja dengan bakat matematika luar biasa, dan kemudian menjadi ahli matematika besar. Pada usia 11 tahun sudah menulis tentang kurva derajat tiga. Tulisannya yang utama adalah kurva bergulung (twisted curve). suatu kurva ruang yang menjadi awal dari geometri diferensial.

Pada tahun 1712, ahli astronomi Italia yaitu Giovani Domenico Cassini(1625-1712) dan anaknya Jacques cassini(1677-1756) melakukan pengukuran jarak dari Dunkirk ke perpignan, dan menyimpulkan bahwa kutub bumi memanjang. Ekspedisi Lapland mendukung pendapat Newton-huygens sehingga kepada Maupertuis diberi gelar pendatar bumi.

Pada tahun 1743, ia menerbitkan karyanya dengan judul theorie de la figure de la terre. Pada tahun 1752, menerbitkan karya dengan judul theori de la lune yang memenangkan hadiah dari akademi st Petersburg, teori berisi gerakan bulan. Dalam persamaan diferensial dikenal persamaan clairaut :  yaitu persamaan diferensial dari himpunan garis y= cx + f(c).

Pada tahun 1759, ia menghitung kembalinya komet hayley mendekati bumi. Perhitungannya mempunyai kesalahan satu bulan.

7. Jean-le rond d’alembert (1717-1783).

Adalah seorang bayi yang baru lahir ditinggalkan dekat gereja Saint-Jaenle Rond di paris.ia ditemukan oleh seorang tukang kebun kemudian diberi nama d’alembert.pada tahun 1741,dia duduk didalam Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis pada usia 24 tahun.karya-karyanya,yaitu pada tahun 1743 ia menerbitkan buku dengan judul Traite de Dynamique yaitu tentang dasar-dasar prinsip kinetika.

-          pada tahun 1744,ia menggunakan prinsip itu dalam suatu risalat mengenai keseimbangan dan gerak cairan.

-          Pada tahun 1746,ia gunakan prinsip yang menyebabkan terjadinya angin.

-          Pada tahun 1747,ia menulis tentang tali yang bergetar,yaitu karyanya di jelaskan melalui persamaan diferensial parsial.dan ia dikatakan sebagai pelopor dalam studi tersebut.

-          Pada tahun 1754,ia menguraikan tiori tentang limit yang menjadi landasan kokoh bagi analisa.

-          Pada tahun 1754,ia terpilih menjadi sekretaris tetap di akademi prancis.

Pada akhir hayat nyaia bekerja pada Encyclopedie prancis.

8. johann heinrich lambert (1728-1777).

Ia lahir di mulhuse swiss,putra seorang penjahit miskin.sehingga banyak belajar sendiri.karya-karyanya  :

-          Pada tahun 1966 ia menulis hasil penyelidikan mengenai postulat palarel Yang berjudul “die theorie der parallel linier “.

-          Ia juga ahli matematika yang membuktikan bahwa  adalah irrasional.bukti :

-          Ia juga orang pertama yang menulis tentang fungsi-fungsi hiper bolik dan memberikan notasi pada fungsi tersebut.

-          Menyusun ilmu ukur lukis

-          Menentukan orbit dari komet

-          Tiori proyeksi pada membuat peta

-          Juga munyusun tentang logika.

9. Joseph Louis Lagragne (1736-1813)

lahir di turin italia.pada tahun 1766 ia di undang kaisar fredrich agung umtuk menggantikan kedudukan euler sebagai ketua akademi prusia.yang dijabatnya selama 20 tahun.dan juga pernah guru besar pada ecole normale.karya nya :

Pada tahun 1797,ia menulis judul theorie des function analytiques contenant les principles du calcus diffrentiel. Yaitu menyajikan tentang suatu fungsi dalam deret taylor.Derivatif f’(x), f”(x). … menjadi koefisien dari h, , … pada ekspansi f(x + h).

-          Dalam mekanika analitik.

-          Dan ia juga dikatakan sebagai ahli analisa sejati.

10.  Gaspard Morge (1746 – 1818)

Pada tahun 1794 menjadi guru besar matematika pada Ecole Polytechnique. Karya-karyanya :

-          Ilmu ukur lukis, yaitu memproyeksikan benda-benda ruang ke bidang datar.

-          Karyanya yang berjudul “Application de I’analyse” yang diterbitkan dalam 5 jilid, salah satunya adalah geometri diferensial.

Lahirnya Geometri-geometri Baru

Ada 9 orang ahli geometri baru abad 19, yaitu :

1)      Nicolai Ivanovitch Iobachevsky (1793 – 1856)

Iobachevsky ingin mengganti postulat kelima dari Euclides menjadi :”Melalui suatu titik di luar suatu garis dapat ditarik paling sedikit dua garis sejajar dengan garis yang ditentukan”. Akan tetapi harapan untuk mengganti postulat Euclides tidak dapat dibuktikan bahkan pengembangan sistem postulat itu menghasilkan suatu geometri baru non Euclides yang dikenal sekarang Geometri Iobachevsky.

2)      Jamos Bolyai (1802 – 1860)

Sistem geometrinya yaitu “Melalui suatu titik di luar suatu garis dapat dibuat sedikitnya satu garis lurus sejajar dengan garis tersebut” yang dikenal dengan sistem geometri Mutlak Bolyai.

3)      Poncelet (1788 – 1867)

Mengenai geometri proyektif “Pengertian polar dan garis polar diuraikan dengan cermat atas prinsip dualitas”.

4)      Jacob Steiner (1796 – 1867)

Pengembangan pemikiran poncelet menghasilkan geometri sintetik. Steiner salah seorang ahli geometri sintetis terkemuka.

5)      Kart Georg Von Staudt

Ia menciptakan geometri proyektif bebas dari unsur metrik dalam bukunya Geometri der Lage yang diterbitkan pada tahun 1847.

6)      Augustus Ferdinand Mobius (1790 – 1868)

Pengembangan geometrinya secara analitik.

7)      Michael Chasles (1798 – 1860)

Ia seorang geometri sintetis terkenal.

8)      Felix Kleim (1849 – 1929)

Pada tahun 1972, dalam program Erlanger ia mendefinisikan geometri sebagai teori invariant dari grup transformasi, kemudian dalam geometri proyektif disusun sejumlah postulat maka disebut geometri terbatas.

9)      Maurice Frechet

Pada tahun 1906, ia menciptakan suatu geometri yang memandanag ruang sebagai himpunan obyek-obyek yang disebut titik, bersama himpunan-himpunan dengan himpunan relasi-relasi antara obyek-obyek itu. Ruang itu disebut ruang abstrak. Himpunan relasinya disebut struktur dari ruang.

10)  Lahirnya struktur aljabar baru

-          William Rowan Hamilton (1805 – 1865)

Ia seorang ahli aljabar dari Irlandia, ia menemukan aljabar quaternion. Dalam system aljabar itu tidak berlaku sifat komutatif.

-          Herman Grassmann (1809 – 1877)

Ia seorang ahli matematika Jerman, mengembangkan suatu system aljabar yang strukturnya berbeda dari struktur aritmatika.

-          Arthur Cayley (1821 – 1895)

Ia seorang ahli matematika Inggris, menciptakan aljabar matriks, suatu struktur aljabar yang tidak komutatif.

Analisa Secara Aritmatika

Agust iouis Cauchy (1789 – 1857)

Pada tahun 1821, Cauchy menggunakan limit untuk menentukan Convergensi, Kontinuitas, dapat dideferensialkan, integral.

Pada tahun1874, pamahaman yang semakin mendalam tentang landasan analisa diberikan oleh Weierstrass dalam penerbitan karya-karyanya mengenai fungsi-fungsi continue yang tidak mempunyai derivative atau mengenai fungsi-fungsi yang tidak mempunyai tangent pada titik-titiknya. Bahkan Rieman memperkenalkan fungsi yang kontinue untuk semua peubah dengan nilai irrasional tetapi tidak continue pada nilai rasional. Teori Cauchy tidak mempunyai cukup landasan untuk menjelaskan hal itu. Berarti teori limit, kontinuitas dan dapat dideferensialkan masih tergantung dari sifat-sifat sistem bilangan riel yang sukar dan perlu diteliti lebih mendalam.

Akhir abad 19 Richard Dedekind (1831 – 1916)

Cantor (1845 – 1918), Peano (1858 – 1932) menyederhanakan lagi landasan analisa itu, diusul dari bilangan asli. Kemudian menyusul lagi landasan matematika berasal dari sistem bilangan asli.

Pada awal abad XX terbukti pula bahwa sistem bilangan asli disusun berdasarkan konsep teori himpunan.

• MATEMATIKA ABAD 19

Pengantar 

Dengan cepat teori himpunan mempengaruhi pamikiran ahli geometri, lahirlah ruang abstrak, teori umum tentang dimensi, teori ukuran (measure), topologi. Perubahan pandangan atas teori purbakala yang mengatakan hanya ada satu ruang dan satu geometri. Ruang tidak hanya sebagi himpunan titik-titik tetapi sebagai tempat kedudukan dimana obyek-obyek dapat bergerak dan bebas satu terhadap yang lain.

Sehingga relasi dasar geometri adalah kongruensi, atau relasi dapat ditindihkan. Setelah tercipta geometri analitik, geometri non Euclides, dapatlah diterima geometri lebih dari satu. Kemudian ruang dipandang sebagai transformasi kongruensi pada dirinya sendiri.

Pemikir-pemikir Matematika Abad 19

1.      Joseph Fourier

Sebelumnya pengertian fungsi berasal dari Leibniz yang berarti equivalen, suatu yang menghubungkan koordinat titik dengan kurva.

Setelah fourier meneliti aliran panas menggunakan deret trigonometri maka pandangan atas konsep fungsi  tadi berkembang.

2.      Lejeune Dirichlet (1805-1859)

Konsep fungsi yang diberikan oleh Dirichlet yaitu : suatu perubahan ialah suatu lambang yang mewakili suatu anggota dari himpunan bilangan. Jika dua perubah x dan y di hubungkan, dan bila kepada x diberikan suatu nilai, maka dengan sendirinya berpasangan suatu nilai kepada y, maka y adalah suatu fungsi dari x.

Himpunan  A dari semua unsur pertama dari pasangan terurut itu disebut domain dari f, dan himpunan B dari semua unsur kedua pasangan terurut itu disebut daerah hasil (range) dari fungsi itu. Dengan demikian hubungan dengan fungsi tidak lain dari himpunan bagian dari perkalian kartesian A X B.

3.      Pierre Simon Laplace (1749-1827)

Laplace adalah seorang anak petani  dari perancis. Karya-karyanya terpenting mengenai mekanika yang berhubungan dengan ruang angkasa. Karya yang lain yaitu tentang teori kemungkinan persamaan diferensial. Selama tahun 1799-1825 ia menulis sebuah karya besar yaitu Traite mecanique celeste sebanyak lima jilid. Itu sebabnya ia di beri gelar Newton dari perancis.

Pada tahun 1812 ia menerbitkan karya besar kedua dengan judul theroie analitique des probabilities.  Selain itu namanya dikenal dalam teori potential dengan persamaan laplace. Dalam kalkulus dikenal juga transformasi Laplace, dalam determinan disebut juga ekspansi Laplace. Ia meninggal tepat 100 tahun dari waktu newton meninggal.

4.      Adrien Marie Legendre (1752-1833)

Ia di kenal dalam matematika elementer dengan bukunya Elements de geometrie. Karyanya dalam matematika tinggi adalah mengenai teori bilangan, fungsi elliptik, metoda kuadrat terkecil dan tentang integral.

Dengan tekun ia juga menyusun table matematika. Ia juga di hubungkan dengan persamaan diferensial derajat dua:

(1 - ) - 2x + n (n + 1)y = 0

Penemuan lain adalah polynomial Legendre. Lambing (c p) sama dengan ±1 disebut lambing legendre. Lambing itu dipakai dalam aritmatika moduler.

Contohnya:

≡ 6 (mod 19) mempunyai penyelesaian yaitu (6 │ 19) = 1, tetapi ≡ 39 (mod 47) tidak mempunyai penyelesaian sebab (39 │ 47) = -1 tidak mempunyai penyelesaian.

5.      Karl Fredrich Gauss (1777-1855)

Ia dipandang sbgai ahli matematika terbesar abad 19 setaraf dengan  Archimedes dan Newton. Gauss dianggap seorang anak ajaib diantara anak-anak yang lahir di sepanjang zaman.

Sumbangan pemikirannya pada geometri mengenai segi banyak beraturan. Salah satu dari penemuan itu, bahwa segi banyak beraturan yang banyak sisinya prim tak dapat dilukis kecuali jika f(n) =  + 1, untuk n = 0,1,2,3,… penemuan itu dibuktikannya pada tahun 1776 atau pada usia 19 tahun.

Gaus sendiri membuktikannya pada usia 19 tahun. Dalam lambing Legendre teorema ditulis jika p = 2 P + 1 dan q = 2Q + 1 adalah dua bilangan prim berlainan,maka

(p│q)(q│p) =

Karena  p = 2P + 1, maka P = (p – 1)

q = 2Q + 1, maka Q = (q – 1)

            maka cara lain menulis hokum kuadratik berkebalikan (quadratic reciprocity law) adalah:

            (p│q)(q│p) =

Jadi      (p│q)(q│p) =  1, jika p adalah residu kuadratik modulo p.

            (p│q)(q│p) =  -1, jika p bukan residu kuadratik modulo p.

Jadi cukup diperhatikan apakah ( p – 1) + ( q – 1) ganjil atau genap.

6.      Karl weierstrass (1815-1897)

Sumbangan pikirannya paling luas dikenal dalam matematika ialah landasan teori fungsi kompleks pada deret pangkat penemuannya itu sebagai kelanjutannya dari pemikiran yang dicoba Lagragne di bidang kompleks dan weirstrass menyusunnya dengan kokoh.

Weierstrass adalah seorang guru yang sangat berpengaruh dengan persiapan kuliah yang sangat cermat dan penalaran yang luar biasa cermatnya.sehingga ia disebut sebagai bapak dari analisa modern. Ia meninggal tepat 100 tahun dari waktu Lagragne meninggal yang mempelopori analisa dengan konsep yang kokoh.

7.      George Bernhard Rieman (1826-1866)

Pada tahun 1851, disertasinya untuk memperoleh gelar doctor memperkenalkan sekarang dengan konsep Rieman. Ia memperkenalkan topologi ke dalam analisa. Ia memberikan definisi tentang dapat di integralkan yang dikenal sekarang integral Rieman, dan pada abad 20 dikenal dengan integral lebesque dalam bentuk yang lebih umum.

8.      George Cantor (1845-1918)

Ia lahir di St. Petersburg. Perhatiannya pertama pada teori bilangan, persamaan-persamaan yang tak dapat diselesaikan, deret-deret Trigonometri.ia menuliskan laporan tentang bilangan rasional yang menggunakan barisan konvergen dari bilangan rasional berbeda dari yang diberikan secara geometri oleh Dedekind. Pada tahun 1874 karyanya tentang teori himpunan dan teori tak berhingga membuat revolusi dalam matematika. Ia memciptakan aritmetika bilangan transfinite seperti pada aritmetika bilangan terbatas. pertentangan antara aliran pormalis dari Hilbert dengan aliran intuisionis dari brower adalah kelanjutan dari pertentangan Cantor dengan pandangan Kronecker.

• MATEMATIKA ABAD 20

Lahirnya mazhab matematika

1.      Alfred North Whitehead (1861-1947) dan Bertrand Arthur William Russel (1872-1970)

Kedua Ahli logika itu memerbitkan dengan judul Principia Mathematica. Buku itu berisi landasan matematika yaitu aljabar proposisi dan teori himpunan. Principia Matematika itu menjadi landasan umum dari matematika abad 20. Mazhab atau aliran dari russel dan whitehead itu menyatakan bahwa semua matematika dapat dipandang sebagai jenis logika. Mazhab itulah yang disebut mazhab logistic.

2.      Darvid Hilbert (1862-1943)

Hilbert mereduksi matematika dengan menggunakan lambang seperti permainan catur dengan aturan aturan sederhana. Mazhab dari Hilbert itu disebut mazhab pormalis.

3.      L.E. J Brower (1881-        )

Ia menganggap logika merupakan bidang studi didalam matematika. Maka lebih diutamakan adalah matematika iti dari logika. Sehingga L.E.J Brower dipandang mewakili majhab intuisi. Aliran intuisi berpendapat tidak mungkin terdapat suatu peneliti matematika yang tak dapat dijelaskan.

4.      Rudolf Carnap (1891-       )

Pada tahun 1920 carnap mengembangkan formalism kedalam analisa bahasa. Maka pertentangan antara kaum formalis dengan kaum intusi semakin tajam.

5.      Kurt Godel (1906-                        )

Pada tahun 1931 pertentangan antara kaum formalis dengan kaum intuisi itu mereda setelah godel memberi pemecahannya. Ia menemukan bahwa, tidak mungkin membuktikan konsistensi dari suatu system logika dengan metoda-metoda itu sendiri.

6.      Bourbaki (1934-    )

Semula Bourbaki dengan kelompoknya hendak menyusun baik pelajaran tentang analisa dengan pandangan baru yang berlaku. Mereka lebih dahulu menyusun basisnya dengan logika matematikadengan metoda-metoda formilnya. Dan dengan teori himpunan. Mereka membagi matematika berdasarkan struktur-struktur yang berlaku umum. Metoda aksiomatis memang dipelopori oleh Hilbert, Naether, dan Artir. Bourbaki membuat pengertian struktur menjadi dasar susunan matematika yang bermacam-macam itu. Maka terdapat 3 struktur yaitu :

Ø  Struktur urutan

Ø  Struktur aljabar

Ø  Struktur topologi dan struktur jamak.

a.       Struktur urutan.

Di dalam suatu himpunan V, didefinisikan relasi R. relasi biner antara anggota V ditulis x Ry     x = y jika x Ry atau y Rx dan jika x,y,z € V. jika x Ry dan Rz maka y Rz.

b.      Struktur aljabar

Di dlam himpunan V didefinisikan komposisi, atau beberapa komposisi dan hubungan komposisi itu ditentukan dengan syarat-syarat. Misalnya perkalian vector.

c.       Struktur topologis

Struktur ini adlah perumusan abstrak tentang gambar-gambar intuitif tantang pengertian seperti, batas-batas, kontinuitas dan sebagainya.

d.      Struktur jamak

Dalam struktur majemuk ini dapat di tempuh teori matematika klasik, system bilangan ilmu ukur Euclides yang masing-masing terdapat dalam struktur induknya. Namun diragukan apakah kelompok bourbaki ini dapat mengklasifikasinya semua cabang matematika dalam pembagian strukturnya.